inequality

mqlvkson

(a) Let p,q>0 s.t. p+q=1.
     Show that ln(px+qy)>= plnx+qlny   
      for any x,y>0
(b) Hence by induction, or otherwise, show that for p1,p2,...,pn >0 s.t. summation(i=1 to n ) pi =1
      ln [summation i=1 to n (pixi)] >= summation i=1 to n (pi lnxi)
    for any x1,x2,...,xn >0
   (  所有 i 全部係p同x 右下角)

Naozumi

mqlvkson

點解可以當y係一個constant 咁let個function既

Naozumi

點解唔可以,係數學上係好常見

mqlvkson

因為我一開始係當x y係兩個variable
咁就let 唔到一條function in one variable..
因為我驚會唔會有d case 係條inequality 唔hold 既

Naozumi

其實只要logic正確就冇問題,我呢度個y其實任let,只是暫時fix一陣,當住 one variable
即係我對每一個y都討論一次個F(x)

mqlvkson

其實pure maths 會唔會成用lee招
同埋條數個induction 係唔係好煩嫁...?

Naozumi

AL黎講較僻

mqlvkson

其實要從咩方向諗點put 個q同y ?

Naozumi

唔太明你問乜野,純粹將2 variables "降"為 1 variable,方便證明

mqlvkson

唔係呀 我想問呢
做induction果part 第一步係從咩方向諗出黎嫁

Naozumi

要用induction hypothesis,就要將k+1 terms變成k terms,同埋要"砌" d pi出黎令到 sum[i=1, k] pi = 1

但係題目只有sum[i=1, k+1] pi = 1

咁好自然將 pk同 pk+1 group埋一齊,咁再做多小小就掂

98102257

樓主可以參考下 2004年 paper 1 Q10 (a)
佢用左 f(x) = x^p - px    (0<p<1) 去證明
x^p < px + 1 - p for all x > 0
咁你代 x = X/Y 入去上面條式, q = 1 - p
(X/Y)^p < p(X/Y) + q
全式乘 Y
(X^p)(Y^q) < pX + qY
因為 ln x 係 increasing function
所以 ln (X^p)(Y^q) < ln (pX + qY)
p ln X + q ln Y < ln (pX + qY)
咁會唔會易明  D ?

其實條數本身唔係咁難，不過佢開頭無叫你去證 x^p < px + 1 - p for all x > 0 先，所以先搞到咁鬼難
不過 Naozumi 好犀利，咁都證到

mqlvkson

我都知就有lee條數呀
但係會唔會真係見過2004年果條 先會記起個function le
如果當一條新數咁做 我估我未必估到個function出黎

98102257

原帖由 mqlvkson 於 2009-3-16 07:40 PM 發表
我都知就有lee條數呀
但係會唔會真係見過2004年果條 先會記起個function le
如果當一條新數咁做 我估我未必估到個function出黎

如果199x年的試題我就唔敢包
但而家 d 題目真係比以前易左好多
所以直接考你的機會真係唔大，放心啦 !!
不過講真，你要識 let x = X/Y 代入條試都唔係容易的事
你睇落就易，但諗的時間絕對唔係數十秒可以做到 !!
所以要做多 d 數，拿多 d 經驗，努力呀 !!

[ 本帖最後由 98102257 於 2009-3-16 07:54 PM 編輯 ]

Naozumi

以前 Pmaths係冇short question  7揀6, 擔保刺激

雞仔-bg

原帖由 Naozumi 於 2009-3-16 07:57 PM 發表
以前 Pmaths係冇short question  7揀6, 擔保刺激

87年果d 傻嫁  3個鍾做7條 long q=_=
9揀7