又黎求助啦~~中四二項式2條

兔子``

1.若N為正整數且在(1+x)^n+(1+2x)^n的展開式中.x^2的系數式75.求N。
2.分別判斷(2x^2+1/x)^9的展式有沒有
(a)常數項
(b)x^2項
若有~求該項
唔該>.<做左+goodxd要詳細步驟

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富商.豪

1.若N為正整數且在(1+x)^n+(1+2x)^n的展開式中.x^2的系數式75.求N。
1+x)^n = 1+nx + n(n-1)/2x^2 +...
   (1+2x)^n = 1 + 2nx + n(n-1)/2 (2x)^2 = 1+2nx + 2n(n-1)x^2 +...
   (1+x)^n + (1+2x)^n = (1+nx + [n(n-1)/2]x^2 +...) + (1+2nx + 2n(n-1)x^2 +...)
                                     = 2 + 3nx + [(5n^2  - 5n)/2]x^2 +...
因為x^2的系數式75, [(5n^2  - 5n)/2 = 75
                                   n^2 - n -30=0
                                    (n-6)(n+5) =0
                                           n=6  or -5(rejected)

2.分別判斷(2x^2+1/x)^9的展式有沒有
(a)常數項
(b)x^2項
若有~求該項


(a)  第(r+1)項:   9Cr (2x^2)^r (1/x)^(9-r)
                          =9Cr (2^r)[x^(2r)] [x^(r-9)]
                          = 9Cr (2^r)[x^(3r-9)]
                            put r=3,
                              9C3  (2^3)(x^0)
                             = (84)(8) = 672

b) 第(r+1)項:   9Cr (2x^2)^r (1/x)^(9-r) = 9Cr (2^r)[x^(3r-9)]
            因為要找x^2項,所以     3r-9=2
                                               r = 11/3
             因為r一定是整數,所以沒有x^2項。

[ 本帖最後由 富商.豪 於 09-10-15 08:33 PM 編輯 ]