救求 partial fraction

Loveyeeman_hk

分解 : 1/(1-x)(1-2x)........(1-nx)

hence : prove ,   (r=0-->nΣ) (-1)^n-r．(1/r!(n-r)!)．r^n=1

有冇大佬指點下~ ths!

闇．月

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打得好亂
1/(1-x)(1-2x)...(1-nx)=Σ Ak/(1-kx)  [k=1→n]
Ak 係常數, 我地要搵返出來
全式乘 (1-x)(1-2x)...(1-nx)
1=Σ Ak (1-x)(1-2x)...(1-nx)/(1-kx)    [k=1→n]

(1-x)(1-2x)...(1-nx)/(1-kx) 可以約走分母個 (1-kx)
例如 k=1, 約左 (1-x) 咁就剩返 (1-2x)...(1-nx)
k=2, 約左 (1-2x) 咁就剩返 (1-x)(1-3x)...(1-nx)
...
k=n, 約左 (1-nx) 咁就剩返 (1-x)...(1-(n-1)x)

之後我地搵 d 數代入 x, get some ideas about the general form of Ak
代 x=1
1=A1(-1)(-2)...(1-n)  [其它都有 (1-x) 這一項, 所以全變做 0]
1=A1(-1)^(n-1) (n-1)!

代 x=1/2
1=A2(1-1/2)(1-3/2)...(1-n/2)  [其它都有 (1-2x) 這一項, 所以全變做 0]
1=A2(2-1)(2-3)...(2-n)/2^(n-1)
1=A2 (-1)^(n-2) (n-2)!/2^(n-1)

代 x=1/3
1=A3(1-1/3)(1-2/3)(1-4/3)(1-5/3)...(1-n/3)  [其它都有 (1-3x) 這一項, 所以全變做 0]
1=A3(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)...(3-n)/3^(n-1)
1=A3(2)(1)(-1)(-2)...(3-n)/3^(n-1)
1=A3 (-1)^(n-3) 2! (n-3)!/3^(n-1)
...
代 x=1/n
1=An(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)  [其它都有 (1-nx) 這一項, 所以全變做 0]
1=An(n-1)(n-2)...(n-(n-1))/n^(n-1)
1=An (n-1)!/n^(n-1)

用返上面的做法, generally 1=Ak(-1)^(n-k) (k-1)! (n-k)!/k^(n-1)
Ak=k^(n-1)/(-1)^(n-k) (k-1)! (n-k)!
Ak=(-1)^(n-k) k^n/k! (n-k)!  [分母分子同乘 k]
注意 1/(-1)^(n-k)=(-1)^(n-k)

1/(1-x)(1-2x)...(1-nx)=Σ Ak/(1-kx)  [k=1→n]
之後代 x=0 就證明到你條式
1=Σ Ak  [k=1→n]